home | login | register | DMCA | contacts | help | donate |      

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


my bookshelf | genres | recommend | rating of books | rating of authors | reviews | new | форум | collections | читалки | авторам | add



Глава 10. Отсюда туда не добраться

Бесконечное в математике всегда неконтролируемо, пока не начнешь с ним правильно обращаться.

Джеймс Ньюмен

Ничего не могу с собой поделать – вопреки моей воле бесконечность мучит меня.

Альфред де Мюссе

Имеет ли пространство предел? Было ли у времени начало и наступит ли когда-нибудь конец? Существует ли самое большое число? Даже в детстве мы задаем такие вопросы. У любого человека рано или поздно возникает интерес к бесконечности. Но бесконечность – это не какое-то туманное и расплывчатое понятие, а объект строгих исследований. И результаты этих исследований порой столь парадоксальны, что в них трудно поверить.

Безграничное – предмет дискуссий философов, теологов и искусствоведов. Американский джазовый гитарист и композитор Пэт Мэтини как-то сказал: “В музыкантах я ищу чувство бесконечности”. Английский поэт и художник Уильям Блейк считал, что наши ощущения мешают нам оценить истинную природу вещей и что “если двери восприятия очистить, все сущее явится человеку таким, какое оно есть, – бесконечным”[37]. Французский писатель Гюстав Флобер предупреждал об опасности, подстерегающей тех, кто слишком об этом задумывается: “Чем ближе подходишь к бесконечности, тем больше погружаешься в ужас”.

Ученым также приходится время от времени сталкиваться с бесконечностью, и эти встречи не всегда приятны. В 1930-х годах физики-теоретики, исследуя свойства элементарных частиц, обнаружили, что получающиеся при расчетах значения раздуваются до бесконечности, или, другими словами, стремятся к ней. Такое происходило, например, когда радиус электрона принимали за ноль, как это следовало из результатов экспериментов по электрон-электронному рассеянию. Расчеты показывали, что энергия окружающего частицу электрического поля в этом случае бесконечно велика, что абсурдно. Конфуза в конце концов удалось избежать с помощью математического приема под названием “перенормировка”. В квантовой механике это сегодня стандартная уловка, хотя кое-кого из физиков до сих пор смущает ее произвольный характер.

Теперь посмотрим, что происходит на другом конце физической шкалы. Космологов интересует, ограниченны ли размеры Вселенной, или она простирается бесконечно во всех направлениях. Сегодня мы этого просто не знаем. Та часть Вселенной, которую мы можем видеть (по крайней мере, в принципе), – так называемая наблюдаемая Вселенная – имеет в поперечнике приблизительно 92 миллиарда световых лет, где световой год – это расстояние, преодолеваемое светом за один год. Наблюдаемая Вселенная – это та часть всей Вселенной, из которой свет успел с момента Большого взрыва достичь Земли. За ее пределами вполне может находиться гораздо большее по размерам, возможно бесконечное, пространство, добраться до которого нам никакими способами просто не под силу.

С тех самых пор, как Эйнштейн разработал общую теорию относительности, мы знаем, что пространство, в котором мы живем, может искривляться, подобно тому как искривлена, например, поверхность сферы – разница лишь в том, что наше пространство имеет три измерения, а не два. Если выразиться более строгим языком, пространство-время (а они неразрывно связаны друг с другом) далеко не всегда подчиняется знакомым нам еще со школы правилам геометрии. Нам точно известно, что в локальном масштабе пространство-время искривлено: вокруг любых объектов, имеющих массу, таких как Солнце или Земля, оно изгибается, словно лист резины, если на него положить груз. А вот является ли вся Вселенная искривленной (неевклидовой) или же плоской, мы пока не знаем. Этим живо интересуются космологи, поскольку от формы Вселенной в конечном итоге зависит ее судьба.


Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Изображение скопления галактик S1077 по каталогу Эйбелла, полученное космическим телескопом “Хаббл”.


Если Вселенная в глобальном масштабе искривлена, то она может иметь замкнутую форму – как сфера или бублик. Тогда ее размеры будут ограниченны, хотя достичь рубежа или края все равно не получится, сколько ни старайся. Другой вариант – Вселенная в форме некоего седла, продолженного неопределенно далеко. В этом случае она может либо быть “открытой” и простираться бесконечно, либо все же иметь конечный размер. Кроме того, Вселенная в целом может быть и плоской – и опять-таки либо конечной, либо бесконечной. Независимо от того, какой из вариантов окажется истинным, если вначале Вселенная имела конечный размер, то она такой и останется (хотя может продолжить расти), а если она бесконечна, значит, такой всегда и была. Представление о том, что Вселенная всегда была бесконечной, на первый взгляд, противоречит общепринятой теории Большого взрыва, согласно которой разлет вещества и энергии происходил из области, изначально гораздо меньшей размера атома. Но никакого противоречия на самом деле нет: эта исходно крохотная область воплощала собой лишь размер наблюдаемой Вселенной (той самой, определяемой расстоянием, которое свет был способен преодолеть) через долю секунды с момента Большого взрыва. Вселенная же в целом вполне могла быть бесконечной изначально, хотя это и невозможно было бы увидеть. Что тот, что другой вариант – и бесконечную в пространстве и времени Вселенную, и конечную – не так-то просто охватить разумом, но представить себе конечную Вселенную, вероятно, все же труднее. Как писал философ Томас Пейн: “Неописуемо трудно понять, что пространство не имеет конца, но еще труднее понять его конечность. Выше сил человека постичь вечную протяженность того, что мы называем временем, но еще невозможнее представить время, когда не будет времени”[38].

Данные, собранные на сегодня астрономами при изучении дальних галактик, позволяют предположить, что Вселенная имеет плоскую форму и бесконечную протяженность. Однако что именно означает слово “бесконечный” применительно к пространству и времени в реальной вселенной, не вполне очевидно. Мы никогда не сумеем доказать путем прямых измерений, что пространство и время не имеют конца, потому что никогда не сможем получить информацию с бесконечно дальнего расстояния. Еще одна сложность – сама природа пространства и времени. Физики считают, что существует минимально возможное расстояние и минимально возможное время, известные как планковская длина и планковское время соответственно. Иными словами, пространство и время не непрерывны, а имеют квантованную, зернистую природу. Планковская длина – просто крошечная, всего 1,6 x 10–35 метра, или одна стоквинтиллионная размера протона. И планковское время, то есть промежуток времени, за который свет проходит расстояние, равное планковской длине, ничтожно мало – меньше 10–43 секунды. И все же из-за наличия этой дискретности пространства-времени нужно очень осторожно говорить о бесконечности в контексте физической вселенной. Как обнаружили математики, не все бесконечности одинаковы.

Первыми свои мысли о бесконечности записали греческие и индийские философы древности еще две тысячи лет назад. Анаксимандр в VI веке до нашей эры считал источником происхождения всего сущего “апейрон” (“беспредельность”). Спустя столетие его соотечественник Зенон из Элеи (местности, сегодня известной как Лукания в Южной Италии) впервые взглянул на бесконечность с математической точки зрения.

Зенон первым почувствовал опасности, что таит в себе бесконечность. Беспокойство вызывали описанные им парадоксы, в самом известном из которых Ахиллес состязается в беге с черепахой. Уверенный в своей победе, наш мифический герой дает черепахе фору. Но как же, спрашивает Зенон, может Ахиллес обогнать неторопливую рептилию? Ведь пока он добежит до того места, откуда черепаха начала свой путь, она уползет вперед. К тому времени, как Ахиллес преодолеет новое разделяющее их расстояние, черепаха продвинется еще дальше. И так далее, до бесконечности. Сколько бы Ахиллес ни добегал до того места, где только что была черепаха, ей каждый раз удастся уйти немного дальше. Очевидно, есть некое расхождение между тем, как мы порой представляем себе бесконечность и как все происходит в реальности. Сам же Зенон был настолько смущен и озадачен этим и другими парадоксами, что не только решил не задумываться больше о бесконечности, но и пришел к выводу, что движение невозможно!

Похожее потрясение испытали Пифагор и его последователи, убежденные, что все во вселенной в конечном счете можно описать целыми числами. Ведь даже обыкновенные дроби – это всего лишь одно целое число, деленное на другое. Но квадратный корень из 2 – длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами по единице – никак не вписывался в эту стройную космическую схему. Это было “иррациональное” число, невыразимое в виде отношения двух целых чисел. Если попытаться представить его в виде десятичной дроби, количество знаков после запятой разрастается до бесконечности, а какой-либо четко повторяющейся группы цифр не возникает. Пифагорейцы всех этих тонкостей не знали, их беспокоило только то, что в их совершенный мир затесалось мерзкое чудище в виде квадратного корня из 2, а потому они тщательно скрывали его существование.

Эти два примера иллюстрируют основную проблему, связанную с постижением бесконечности. Наше воображение без труда справляется с тем, что еще не достигло своего конца: мы всегда можем представить себе, как любое расстояние увеличивается еще на шаг, к любому количеству предметов добавляется еще один. Но бесконечность в обобщенном значении, как понятие, в голове не укладывается. Математики издавна бились с ней, поскольку привыкли в своей области иметь дело с точными величинами и тщательней1421356237… и продолжающимся все дальше и дальше без видимого порядка и предсказуемых повторов) или кривой, что прижимается к прямой все теснее и теснее, – и при этом избежать встречи с бесконечностью? Аристотель предлагал возможное решение, утверждая, что бесконечность бывает двух видов. “Актуальная” (или “завершенная”) бесконечность, которой, по мнению Аристотеля, в реальности не существует, – это безграничность полностью реализованная, фактически достигнутая (математически или физически) в какой-то момент времени. “Потенциальная” бесконечность, которую Аристотель считал очевидно проявляющейся в природе – например, в нескончаемом чередовании времен года или безграничной делимости слитка золота (про атомы он не знал), – это беспредельность, протекающая в не имеющем границ времени. Это принципиальное разграничение между актуальной и потенциальной бесконечностью просуществовало в математике более двух тысяч лет.

В 1831 году сам Карл Гаусс высказался по поводу “ужаса актуальной бесконечности” так:

…Я протестую против пользования бесконечной величиной в качестве законченной, каковое пользование в математике никогда не дозволяется. Бесконечное является лишь facon de parler[39], между тем как речь идет собственно о пределах, к которым известные отношения приближаются произвольно близко, тогда как другим предоставляется возрастать без ограничения[40].

Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Взгляд в бесконечность.


Ограничившись изучением потенциальной бесконечности, математики смогли разрабатывать такие важнейшие понятия, как бесконечные ряды, пределы и бесконечно малые величины, придя таким образом к математическому анализу, но не признавая при этом бесконечность в качестве самостоятельного математического объекта. И все же еще в Средние века они сталкивались с парадоксами и неразрешимыми задачами, а это значило, что от актуальной бесконечности нельзя просто отмахнуться. Эти неразрешимые задачи проистекали из принципа, согласно которому всем элементам одного набора объектов возможно найти пару в другом наборе объектов того же размера. Но вот когда этот принцип пытались применить к неограниченно большим наборам, он открыто противоречил продиктованной здравым смыслом идее, впервые высказанной Евклидом: что целое всегда больше, чем любая его часть. К примеру, казалось вполне возможным образовать пары из всех положительных целых чисел и только тех из них, которые являются четными: единице противопоставить двойку, двум – четыре, трем – шесть и так далее, несмотря на то что положительные целые числа включают в себя и четные тоже. Изучавший эту проблему Галилей первым предложил более просвещенный подход к бесконечности, заявив: “Бесконечность должна подчиняться иной арифметике, нежели конечные числа”.

Понятие потенциальной бесконечности усыпляет нашу бдительность, заставляя думать, что к бесконечности можно подобраться поближе – нужно лишь зайти подальше или идти подольше. А отсюда уже недалеко и до распространенного мифа о том, что бесконечность – это лишь что-то вроде очень большого числа и триллион или, скажем, триллион триллионов триллионов уже как-то ближе к бесконечности, чем, допустим, десять или тысяча. На самом деле все не так. Сколько ни двигайся по числовой оси, до какого числа ни считай, к бесконечности не приблизишься ни на йоту. Число 1 так же далеко от бесконечности (или так же близко к ней), как любое другое конечное число, какое бы громадное нам ни хватило фантазии назвать. Более того, в любесполезное. Суть в том, что бесконечность существует даже, например, в интервале между 0 и 1, поскольку тот содержит бесконечное количество дробей: 1/2 , 1/3 , 1/4 и так далее. Бесконечность не имеет ничего общего с огромными конечными числами. Чтобы работать с ней, нам придется вырваться из их плена, перестать пользоваться ими как подпорками для нашего разумения.

Немецкий математик Давид Гильберт эффектно проиллюстрировал, насколько причудливой может быть арифметика бесконечного. Читая лекцию в 1924 году, он предложил слушателям представить себе отель с бесконечным количеством номеров. В обычном отеле с конечным числом комнат, когда все номера заняты, нового посетителя встречает табличка “Мест нет”. В “Гранд-отеле Гильберта” все по-другому. Если переселить гостя, занимающего первый номер, во второй, гостя из второго номера в третий и так далее, то в освободившемся первом номере можно будет разместить одного нового постояльца. Да что там одного! Можно освободить сколько угодно мест для бесконечного числа новых клиентов – стоит лишь переселить гостей из номеров 1, 2, 3 и так далее в номера 2, 4, 6 и дальше, таким образом освободив все нечетные номера. Процесс можно продолжать сколь угодно долго, так что, даже если в отель вдруг прибудет бесконечное количество автобусов, а в каждом из них бесконечное количество новых гостей, отказывать в размещении не придется никому. Такие экзерсисы могут показаться издевательством над нашей интуицией, но это потому, что наша интуиция просто не привыкла иметь дело с бесконечно большим. Дело в том, что свойства бесконечного множества объектов отличаются от свойств обычного, конечного множества, подобно тому как, например, в науке объекты на квантовом уровне ведут себя иначе, чем те, что окружают нас в повседневной жизни. В случае с отелем Гильберта утверждения “во всех номерах есть постояльцы” и “мы готовы принять новых гостей” не являются взаимоисключающими.

В такой вот диковинный мир мы попадаем, если принимаем реальность существования множеств чисел с бесконечным количеством элементов. Именно этот решающий вопрос стоял перед математиками в конце XIX века: готовы ли они принять существование актуальной бесконечности как числа? Большинство продолжало придерживаться точки зрения Аристотеля и Гаусса и отрицало такую возможность. Но некоторые, в том числе немецкий математик Рихард Дедекинд, а более всех его соотечественник Георг Кантор, понимали, что пришло время подвести под понятие бесконечных множеств прочную логическую базу.

Став первопроходцем в странном и тревожном мире бесконечного, Кантор столкнулся с ожесточенным сопротивлением и глумлением со стороны многих из своих современников (что прискорбнее всего, среди них оказался и его наставник и учитель Леопольд Кронекер), потерял работу в Берлинском университете и нажил себе душевную болезнь. В зрелом и пожилом возрасте он периодически оказывался в психиатрических лечебницах, терзался вопросом об авторстве пьес Шекспира и предавался раздумьям о философском и даже религиозном значении своих математических идей. Но несмотря на то, что умер он, оставленный всеми, в 1918 году в психиатрической лечебнице в стране, все еще находящейся в состоянии войны, сегодня его помнят за фундаментальный вклад в развитие теории множеств и в наше осмысление бесконечного.

Кантор понял, что хорошо известный принцип попарного разбиения, который используют для того, чтобы определить, равны ли два множества, можно с таким же успехом применить и к бесконечным множествам. Из него следовало, что четных положительных целых чисел на самом деле столько же, сколько положительных целых чисел всего. Кантор не только увидел, что никакого парадокса тут нет, – он осознал, что это определяющее свойство бесконечного множества: целое в нем не больше, чем какие-либо из частей. Далее он доказал, что множество всех натуральных, или положительных целых, чисел – 1, 2, 3, … (иногда в него включают и 0) – содержит точно такое же количество элементов, что и множество всех рациональных чисел, то есть тех, которые можно записать в виде обыкно0), где “алеф” – это первая буква еврейского алфавита.

Вы можете решить, что есть только одно бесконечно большое число, ведь, раз оно и так бесконечно большое, как может что-то быть еще больше? Но будете неправы. Кантор доказал, что существуют разные виды бесконечности, из которых алеф-ноль – самая маленькая. Бесконечно больше алеф-нуля число алеф-один (имеющее, по выражению Кантора друг за другом бесконечной вереницей. Но и это еще не все: оказывается, на каждый алеф приходится бесконечное количество других бесконечно больших чисел, и вот здесь нам придется разобраться с тем, насколько важно в царстве бесконечного различать количественные и порядковые числительные.

В повседневной речи и практической арифметике количественными числительными мы обозначаем количество объектов в каком-то наборе: один, пять, сорок два и так далее; а порядковыми, как подсказывает само название, – их порядок или положение в группе: первый, пятый, сорок второй и так дальше. Различие между этими двумя типами числительных кажется очевидным и не очень существенным. Допустим, речь идет о карандашах. Понятно, что невозможно иметь пятый карандаш, не имея в наборе как минимум пяти карандашей. Ясно и то, что если карандашей в наборе, скажем, семь, то пятый среди них все равно есть. Бывает, конечно, и так, что пять карандашей есть, а пятого нет, – если мы не расположили их в определенном порядке. Но если отвлечься от этих тонкостей, и для тех и для других числительных мы можем использовать одинаковые символы – 1 (или 1-й), 5 (или 5-й), 42 (или 42-й) и так далее, – не особенно вникая в то, чем отличаются друг от друга эти две категории. Кантор понял, что, когда дело касается бесконечно больших чисел, это различие становится крайне важным. Чтобы понять, что он имел в виду, давайте пробежимся по той области математики, в развитии которой Кантор и Дедекинд сыграли решающую роль, а именно по теории множеств.

Множество – это всего лишь набор объектов: хоть чисел, хоть любых других. На письме для обозначения множества используются фигурные скобки: например, {1, 4, 9, 25} или {стрела, лук, 75, R}. Размер множества, то есть количество содержащихся в нем элементов, называется его кардинальным[41] числом (или мощностью) и обозначается количественным числительным. В двух только что упомянутых множествах по четыре элемента, значит, у обоих кардинальное число равно четырем. Если два множества имеют одинаковое кардинальное число, то для каждого элемента одного множества можно найти пару во втором, причем ни один элемент не останется лишним; другими словами, между этими двумя множествами имеется взаимно однозначное соответствие. Например, чтобы показать, что два наших множества имеют одно и то же кардинальное число, мы можем элементу 1 из первого поставить в соответствие 75 из второго, элементу 4 – “стрелу”, элементу 9 – R, а элементу 25 – “лук”. Конечные кардинальные числа (то есть те, что определяют размер конечных множеств) – это обычные натуральные числа: 0, 1, 2, 3 и так далее. Первое бесконечное кардинальное число – это алеф-ноль, которым, как мы уже знаем, обозначается размер множества всех натуральных чисел.

Если говорить о конечном множестве, то разница между его мощностью (кардинальным числом, обозначаемым количественным числительным) и его “длиной” (которая обозначается порядковым числительным) настолько несущественна, что может показаться пустой придиркой. Другое дело – множество бесконечное: Кантор понял, что тогда это совершенно разные вещи. Чтобы и мы сумели понять, насколько велико различие между ними, разберемся, что из себя представляет “вполне упорядоченное” множество. Множество считается вполне упорядоченным, если оно удовлетворяет двум условиям: во-первых, оно должно иметь определенный первый элемент; во-вторых, каждое из его подмножеств, или подгрупп, также должно иметь начальный элемент. Например, конечное множество {0, 1, 2, 3} является вполне упорядоченным. А вот множество всех целых чисел, включающее вместе с положительными и отрицательные числа, – {…, –2, –1, 0, 1, 2, …} – назвать вполне упорядоченным уже нельзя, поскольку оно не имеет первого элемента. Множество всех натуральных чисел {0, 1, 2, 3, …} – вполне упорядоченное: у него хоть и нет конкретного концевого элемента, зато первый имеется, как и у всех его подмножеств, содержащих только натуральные числа.

Так вот, очень важно понимать, что вполне упорядоченные бесконечные множества, имеющие равный размер, или мощность (то есть с одинаковыми кардинальными числами), могут иметь разную “длину”. Понять такое непросто, даже математику. Строго говоря, правильнее было бы сказать не “разную длину”, а “разные порядковые числа” (или “ординалы”[42]), но для удобства будем оперировать знакомыми терминами. Возьмите множества {0, 1, 2, 3, 4, …} и {0, 1, 2, 4, …, 3}. Многоточие, стоящее в них после четверки, означает “и так далее до бесконечности”; правда, во втором случае после многоточия, в самом конце, стоит тройка. Оба множества содержат все натуральные числа, а значит, у них одинаковая мощность, или кардинальное число, – алеф-ноль. Но второе множество чуть длиннее. Поначалу это может показаться нелепостью: ведь если бы речь шла о конечных множествах, было бы очевидно, что {0, 1, 2, 3, 4} и {0, 1, 2, 4, 3} имеют одинаковую длину, поскольку оба содержат по пять элементов. Но бесконечные множества страшно обманчивы. У множества {0, 1, 2, 3, 4, …} нет конечного концевого элемента – многоточие требует идти дальше до бесконечности без остановок. С множеством {0, 1, 2, 4, …, 3} дело обстоит по-другому. Да, оно тоже содержит последовательность элементов, у которой нет конца. Но в него входит еще один элемент, стоящий после всех элементов бесконечной последовательности. Если просто изъять тройку, то последовательности 0, 1, 2, 3, … и 0, 1, 2, 4, … будут равны по длине; иными словами, каждому элементу первой можно противопоставить по одному элементу второй, и ничего лишнего не останется. А вот если ту же тройку переставить в самый конец, так чтобы она шла после бесконечной последовательности, тогда длина увеличивается на единицу. Посудите сами: в первом множестве {0, 1, 2, 3, 4, …} есть первый элемент (0), второй элемент (1), третий элемент (2), четвертый элемент (3) и так далее. Во втором тоже есть первый элемент (0), второй (1), третий (2), четвертый (4) и так далее. Но есть и еще один элемент, 3, который не является ни одним из предыдущих. Порядковый номер, который мы закрепляем за тройкой, – не ее числовое значение, а то место, на каком она стоит в множестве, – больше любого другого из идущих перед ней, поскольку она появляется после всех остальных элементов множества.

Для этого класса бесконечных чисел нам нужна какая-то особая система названий, отличная от алефов. Математики называют наименьшее бесконечное порядковое число, или ординал, – то есть самую короткую “длину” множества всех натуральных чисел – “омегой” (). Ординал множества {0, 1, 2, 4, …, 3}, где после всех остальных натуральных чисел стоит 3, на единицу больше и обозначается  + 1. Иначе говоря, 3 – это ( + 1) – й элемент множества {0, 1, 2, 4, …, 3}. Пусть вас не смущает знак “плюс” в этой записи: здесь он означает не привычное нам сложение, а то, что ординал  + 1 следует за . К омеге можно что-то прибавить, но отнять от нее невозможно. Ординал множества {0, 1, 2, 4, …}, даже с изъятой тройкой, – все равно . Такого понятия, как  – 1, просто не существует. Это может показаться странным, но только потому, что мы привыкли иметь дело с конечными числами. Невозможно уменьшить “длину” множества всех натуральных чисел, какое бы огромное конечное количество элементов вы из него ни изъяли, – в силу того простого факта, что это множество бесконечно, как следует из его записи: {0, 1, 2, 4, …}. С другой стороны, увеличить его “длину” совсем несложно – достаточно подставить изъятые из него элементы в конец.

Подведем итог: алеф-ноль и относятся к одному и тому же множеству – натуральных чисел. Алеф-ноль – это его размер (количество входящих в него элементов), а  – его наименьшая длина. Эту длину можно увеличить, изъяв элементы с их обычного места и подставив в конец. Например, мощность, или кардинальное число, множества {2, 3, 4, …, 0, 1} – алеф-ноль, а его ординал, порядковое число, равно  + 2. Можно продолжать и дальше увеличивать длину множества натуральных чисел, переставляя его элементы в самый конец, после многоточия, означающего “и так до бесконечности”:  + 3,  + 4, … вплоть до  +  (или  x 2). В последнем случае множество можно записать, например, как подмножество всех четных чисел, за которым следует подмножество всех нечетных: {0, 2, 4, …, 1, 3, 5, …}, ведь каждое из них по длине равно . Затем можно снова продолжить переставлять элементы в конец; так, длину  x 2 + 1 будет иметь множество {2, 4, …, 1, 3, 5, …, 0}. После этого мы можем перейти к степеням 2, 3, … и далее, вплоть до ; потом – к возведению степени в степень, надстраивая все новые и новые “этажи” в “степенной башне” до тех пор, пока их количество не достигнет . Наконец, есть еще один уровень – ординал, названный Кантором “эпсилон-ноль” (0). Точно так же как является наименьшим из ординалов, следующих за конечными ординалами, 0 – наименьший из ординалов, следующих за всеми теми, которые можно выразить с помощью и операций сложения, умножения и возведения в степень. Это врата в мир чисел эпсилон, такой же бесконечно большой, как мир ординалов омега. Весь процесс, только что описанный для омеги, повторяется для чисел эпсилон до тех пор, пока не будут исчерпаны все математические действия, которые можно к ним применить, включая построение степенной башни из эпсилонов и даже эпсилонов эпсилонов. Исчерпав их, мы оказываемся еще на одном новом уровне бесконечных ординалов, начинающемся с “дзета-нуля” (0). И так продолжается до бесконечности…

Основная помеха на нашем дальнейшем пути – обозначение всех этих чисел. Буквы в греческом алфавите рано или поздно заканчиваются; есть свой предел и у всех остальных систем, используемых для обслуживания нескончаемой иерархии бесконечных ординалов. Помимо разработки более эффективной и компактной формы записи гигантских бесконечных ординалов есть и другие технические трудности. Оставив далеко позади дзета-ноль, на пути в бесконечность мы то тут, то там встречаем порядковые числа, увековечившие имена описавших их математиков: ординал Фефермана – Шютте, малый и большой ординалы Веблена (и тот и другой – чудовищно большие), ординал Бахмана – Говарда, ординал Чёрча – Клини (впервые описанный американским математиком Алонзо Чёрчем и его студентом Стивеном Клини). Чтобы толком рассказать про любой из них, потребуется отдельная книга – настолько сложные и запутанные расчеты лежат в их основе. Ординал Чёрча – Клини, например, столь непостижимо велик, что для него просто не существует способа обозначения.

Перечисленные ординалы редко встречаются даже в практике профессиональных математиков, не говоря уже о неспециалистах. Объединяет их то, что все они счетные. Другими словами, все бесконечные ординалы, о которых мы говорили до сих пор, начиная с , можно поставить в соответствие натуральным числам, один к одному, что логично, поскольку все эти последовательности – лишь результат перегруппировки тех же натуральных чисел. Иначе говоря, все эти множества имеют одинаковую мощность, или размер, – алеф-ноль. Какие из порядковых чисел ни возьми, хоть эпсилон-ноль, хоть даже непомерно большой ординал Чёрча – Клини, они ни на миллиметр не приблизят нас к “большей” бесконечности: ведь это просто разные способы упорядочивания натуральных

Алеф-ноль ведет себя не так, как привычные нам числа. Если 1 + 1 дает в результате 2, то алеф-ноль + 1 – все равно алеф-ноль. Алеф-ноль плюс любое конечное число или минус любое конечное число остается алеф-нулем. Известная детская песенка при этом приобретает новый, более оптимистичный характер: “Алеф-ноль поросят резвились на просторе, / Алеф-ноль поросят пошли купаться в море. / Один из них утоп, ему сложили гроб, / И вот вам результат: / Эх, алеф-ноль поросят” (повторять бесконечно). Алеф-ноль невозможно изменить вычитанием, сложением или умножением на какое бы то ни было конечное число и даже на само себя. Но Кантору удалось доказать с помощью теоремы, носящей сегодня его имя, что все бесконечности выстраиваются в иерархию и алеф-ноль – самая маленькая из них. Следующее бесконечное кардинальное число, алеф-один, гораздо больше и равно размеру множества всех счетных ординалов, а именно тех, которым соответствует кардинальное число алеф-ноль. Наглядно продемонстрировать ординалы, соответствующие мощности алеф-один, в виде последовательности непросто. В качестве примера можно привести множество {0, 1, 2, …,  + 1, …,  x 2, …, 2, …, , …, 0, …}, включающее все счетные ординалы (то есть все различные возможные “длины”, которые можно получить путем перестановки натуральных чисел). Ординал такого множества, его порядковое число – омега-один (наименьший ординал, соответствующий алефу-один).

Напомним, что значит “счетный”: это попросту последовательность или множество, элементы которых можно посчитать, пронумеровать. Иными словами, “счетным” мы вправе назвать то, из чего можно составить последовательность, пусть и не обязательно упорядоченную привычным образом. Иногда для этого требуется некоторая перестановка, как в случае с отелем Гильберта. Поскольку все натуральные числа счетные, алеф-ноль, то есть мощность множества натуральных чисел, называют счетно-бесконечным кардинальным числом. Ему соответствует наименьший бесконечный счетный ординал , а также бесконечно много других счетно-бесконечных ординалов. Существование этого бесконечного количества счетных ординалов обусловлено тем, что в случае порядковых чисел существенную роль, как подсказывает их название, играет порядок элементов, а потому между ординалами требуется проводить более тонкое различие, чем между кардинальными числами. Несмотря на это, все счетные ординалы, начиная с и дальше, включая числа эпсилон и остальные, соответствуют одному и тому же кардинальному числу – алеф-нулю. Но вот с переходом к алефу-один все разительно меняется. Алеф-один не только неописуемо больше, чем алеф-ноль, он еще и несчетный. Ему соответствует наименьший несчетный ординал: омега-один (1).

Мы уже говорили, что алеф-один – это размер множества счетных ординалов, но можно ли его описать как-то по-другому? С алефом-ноль все понятно: это мощность множества натуральных чисел. А нельзя ли и алефу-один поставить в соответствие что-нибудь знакомое, доступное для понимания? Кантор считал, что можно. Он утверждал, что алеф-один идентичен общему количеству точек на математической прямой, которое, как он установил, в свою очередь, равно количеству точек на плоскости (как бы невероятно это ни звучало) или в пространстве любой другой размерности. Эта бесконечность пространственных точек, называемая континуумом и обозначаемая буквой c, является также множеством всех действительных чисел (включающим в себя все рациональные числа плюс все иррациональные). Действительные числа, в отличие от натуральных, сосчитать невозможно. Предположим, вас спросили бы, какое число следует в ряду действительных чисел за 357. Как бы вы ни тасовали действительные числа, какими бы способами ни пытались их пронумеровать, все равно останутся те, что вы никогда не сумеете сосчитать, даже если заниматься этим вечно.

Кантор выдвинул предположение, получившее известность как “континуум-гипотеза”. Согласно ей, c равно алефу-один, или, другими словами, не существует бесконечного множества с мощностью, занимающей промежуточное положение между мощностями множества натуральных чисел и множества действительных чисел. Однако, несмотря на все старания, Кантору так и не удалось ни доказать, ни опровергнуть свою гипотезу. Сегодня мы уже знаем почему – и ответ на этот вопрос расшатывает самые основы математической науки.

В 1930-х годах ученый-логик австрийского происхождения Курт Гёдель доказал, что континуум-гипотезу невозможно опровергнуть исходя из стандартных аксиом теории множеств. Для этого он построил систему, состоящую из однозначно определенных множеств, – “конструктивный универсум” – и доказал, что все аксиомы внутри нее выполняются, а континуум-гипотеза истинна (хотя из этого и не следует, что конструктивный универсум – единственная такая система). Три десятилетия спустя американский математик Пол Коэн доказал, что и подтвердить истинность континуум-гипотезы в той же системе аксиом тоже невозможно. Иными словами, в рамках привычной для математиков системы эта гипотеза имела неопределенный статус. Возможность возникновения подобной ситуации была предсказана еще в знаменитой теореме Гёделя о неполноте, о которой мы говорили в пятой главе. Она гласит, что в любой достаточно сложной системе аксиом, если она полна, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть (мы еще поговорим об этом подробнее, когда вернемся к теореме о неполноте в последней главе). И тем не менее факт независимости континуум-гипотезы заставил математиков понервничать, поскольку то был первый конкретный пример, когда важный для науки вопрос невозможно было разрешить, пользуясь общепринятой системой аксиом, на которой построена вся математика.

Споры о том, верна ли континуум-гипотеза и даже есть ли в ней вообще смысл, не утихают среди математиков и философов до сих пор. Что же касается характера различных видов бесконечности, да и самого существования бесконечных множеств, здесь все зависит от того, какой теорией чисел пользоваться. Разные аксиомы и правила дают разные ответы на вопрос “Что же лежит за пределами всех целых чисел?”. Из-за этого довольно трудно, а то и просто бессмысленно сравнивать различные виды бесконечности и пытаться определить их относительный размер, хотя в пределах конкретной системы чисел бесконечности обычно можно без труда расположить в четком порядке.

За пределами алеф-нуля существует внушительная иерархия кардинальных чисел. Если предположить, что континуум-гипотеза верна (а с этим предположением по умолчанию согласны большинство математиков, поскольку из него можно вывести полезные следствия), то следующим по величине бесконечным кардинальным числом будет алеф-один, равный мощности множества всех действительных чисел, или, иначе говоря, общему количеству возможных способов, какими можно упорядочить элементы множества мощностью алеф-ноль. За ним следует алеф-два (равный числу способов упорядочить элементы множества мощностью алеф-один), затем алеф-три, алеф-четыре и так далее, без конца. Каждому алефу соответствует бесконечное число ординалов, наименьший из которых для алеф-нуля – , для алефа-один – 1, для алефа-два – 2 и так дальше. Хотя число алефов бесконечно и каждый следующий бесконечно больше предыдущего, это не мешает математикам задумываться о кардинальных числах, величина которых превосходит величину любого мыслимого алефа. Для этого они вынуждены выходить за пределы привычных теоретических основ своей дисциплины и прибегать к так называемым аксиомам форсинга. Метод форсинга (или вынуждения) был впервые применен уже упоминавшимся выше Полом Коэном. Его использование привело к возникновению понятия “больших кардинальных чисел”. Несмотря на скромное название, в реальности они чудовищно велики. Некоторые из них даже имеют собственные имена, такие как кардиналы Мало или сверхкомпактные кардиналы.

евосходит все остальные. О ней говорил и сам Кантор, но больше в религиозном контексте. Он был убежденным лютеранином, чьи христианские принципы подчас находили отражение в научных трудах. Для него Омега (если она существовала) могла воплощаться только в божественном разуме, в который он верил. При таком подходе Омега – чистая метафизическая абстракция. С математической точки зрения абсолютная бесконечность не может иметь строгого определения, а потому математики (если только их не потянуло на философию) обычно ее игнорируют. Есть соблазн охарактеризовать ее как количество элементов в универсуме всех множеств – так называемом универсуме фон Неймана. Но этот универсум на самом деле не множество (скорее класс множеств), поэтому с его помощью невозможно дать определение конкретному виду бесконечности, будь то кардинальное число или ординал. Споры вызывают также попытки рассматривать Омегу как наиболее осмысленный результат деления единицы на ноль. Математика эту процедуру не признает, хотя в некоторых видах геометрии, например в проективной геометрии, такое возможно – отсюда возникают понятия “бесконечно удаленной точки” и “бесконечно удаленной прямой”. Поиск Омеги продолжат будущие поколения математиков, логиков и философов. Ну а нам пока тоже есть чем заняться: бесконечностей у нас более чем достаточно, одна бесконечно больше другой.

И напоследок еще одна мысль: а имеют ли математические бесконечности какое-либо воплощение в реальном мире, или же это чистые абстракции? Как мы уже узнали, космологи склонны считать Вселенную, в которой мы живем, геометрически плоской и бескрайней в пространстве и времени. Если она действительно бесконечна, то какой математической бесконечности она соответствует? То, что пространство и время делятся на дискретные кусочки – планковскую длину и планковское время, – означает, что они не непрерывны, не слитны, как точки на математической прямой. Значит, если реальная вселенная бесконечно велика, похоже, с ней можно соотнести только наименьшую из бесконечностей, алеф-ноль. А все, что больше, возможно, всегда будет существовать только у нас в голове или в каком-нибудь платоновом пространстве, которому нипочем законы физики.


Глава 9. Магия парадокса | Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним | Глава 11. Самое большое число