home | login | register | DMCA | contacts | help | donate |      

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


my bookshelf | genres | recommend | rating of books | rating of authors | reviews | new | форум | collections | читалки | авторам | add



Глава 9. Магия парадокса

Как замечательно, что мы натолкнулись на парадокс. Теперь у нас появилась надежда продвинуться вперед.

Нильс Бор

Прошу принять мое заявление о выходе из членства клуба. Я не желаю состоять в организации, куда принимают людей вроде меня.

Граучо Маркс

Слово “парадокс” восходит к греческим словам para (“против”, “вопреки”) и doxa (“мнение”, “представление”), то есть буквально оно означает нечто, что противоречит интуиции или здравому смыслу. В обиходной речи мы часто называем парадоксальным то, во что трудно поверить. Например, в третьей главе мы говорили, что если в одной комнате собрать 23 человека, то вероятность, что у двух из них совпадут дни рождения, больше 50 %. Это утверждение часто называют “парадоксом дней рождения”, хотя это легко доказуемый статистический факт, вызывающий удивление лишь потому, что противоречит нашим ожиданиям. Математики и логики употребляют слово “парадокс” в более узком значении: для них это утверждение или ситуация, содержащие внутреннее противоречие. Один из таких парадоксов, как мы увидим, привел к важному открытию в фундаментальном разделе математики. Другие, имеющие отношение к природе внутреннего “я”, к свободе воли, ко времени, породили плодотворные философские и научные дискуссии.

Французский богослов и философ XIV века Жан Буридан сыграл важную роль в распространении в Европе идей коперниканской революции – о том, что планеты обращаются вокруг Солнца. Но больше его имя известно благодаря ассоциации со средневековым логическим парадоксом. Буридан представил себе осла, стоящего ровно посередине между двумя копнами сена, одинаковыми во всех отношениях – по размеру, качеству и внешнему виду. Осел голоден, но помимо этого обладает рациональным мышлением и ослиным упрямством, а потому никак не может решить, какую копну предпочесть. Раздираемый сомнениями и не имея рационального основания для принятия решения, осел в конце концов умирает от голода. Будь копна всего одна, он выжил бы, а с двумя одинаковыми – гибнет. Все, что от него требовалось, – чуточка благоразумия. И где здесь логика?

Буриданов осел оказался в той же ситуации, что и идеально круглый шарик, лежащий на вершине крутого холма. Пока на него не действуют никакие неуравновешенные силы, ничто не заставляет его двигаться. Однако его состояние неустойчиво: малейший толчок – и он покатится с вершины под уклон. А без толчка так и будет лежать там вечно. Как и во многих других мысленных экспериментах, в парадоксе с ослом делается целый ряд допущений, на практике нереализуемых. Например, предполагается полная симметрия: какую бы копну ни выбрало животное, последовательность шагов и состояний будет одинаковая. Но в реальности такое невозможно. Кроме того, ослу просто может быть привычнее выбирать левое или же, наоборот, правое направление или из-за игры света одна копна вдруг покажется ему аппетитнее другой. Любой из десятков различных факторов может оказаться решающим и сдвинуть равновесие в сторону той или иной копны. А вот пример из цифровой электроники: логический вентиль может “зависнуть” в состоянии между нулем и единицей (те же копны сена), пока электронный шум в цепи не переключит его в одно из стабильных положений. Парадокс с буридановым ослом часто используется при обсуждении свободы воли: утверждается, что никакое существо, обладающее такой свободой, каким бы рациональным оно ни было, никогда не выберет голодную смерть только потому, что у него нет оснований предпочесть один источник пищи другому.

Еще один парадокс, имеющий отношение к свободе воли, сформулировал в 1960 году Уильям Ньюком, физик-теоретик Ливерморской национальной лаборатории имени Эрнеста Лоуренса и родственник знаменитого астронома XIX века Саймона Ньюкома. В парадоксе Ньюкома некое высшее существо, способное предсказывать будущее и никогда до того не ошибавшееся, кладет 1000 долларов в коробку A и либо ничего, либо 1 000 000 долларов – в коробку Б. Оно предлагает вам выбор: (1) открыть только коробку Б или (2) открыть обе коробки. Но есть подвох: это существо поместило деньги в коробку Б только в том случае, если предсказало, что вы выберете вариант (1). В случае, если, согласно его предсказанию, вы поступите по-другому, коробка Б останется пустой. Вопрос: как вам поступить, чтобы получить максимальный выигрыш? Единого мнения по поводу правильного ответа (и даже того, корректна ли вообще формулировка задачи) не существует. Можно утверждать, что, поскольку сейчас ваш выбор никак не изменит содержимое коробок, нужно просто открыть обе и забрать то, что в них окажется. Такое решение кажется вполне разумным, пока не вспоминаешь, что существо еще никогда не ошибалось в своих предсказаниях. Иными словами, ваше субъективное состояние каким-то образом связано с содержимым коробки: выбор, который вы делаете, влияет на вероятность того, что в коробке Б окажутся деньги. В защиту обоих вариантов выбора выдвигались и эти аргументы, и множество других. Но общепринятого “правильного” ответа так и нет, несмотря на то что философы и математики совместно уже больше полувека пытаются решить эту задачу.

Ньюком сформулировал этот парадокс, пока обдумывал другой, более старый, известный под названием “парадокс неожиданной казни”. Он появился в устной форме где-то в 1940-е годы. Речь в нем идет о приговоренном к смертной казни. В субботу судья, имеющий репутацию человека, всегда держащего свое слово, сообщает узнику, что того повесру, приговоренный размышляет над услышанным и приходит к выводу, что судья ошибся. Откладывать казнь до следующей субботы нельзя – ведь тогда уже на рассвете он точно будет знать, что это его последний день. Но если казнь в субботу исключается, то она не может состояться и в пятницу, поскольку, дожив до вечера четверга, узник поймет, что его повесят на следующий день. Точно так же можно исключить и четверг, затем среду и так далее, вплоть до самого воскресенья. Но раз во все эти дни неожиданная казнь невозможна, значит, и в воскресенье палач тоже не сумеет сделать свое дело так, чтобы приговоренному это не было известно заранее. Таким образом, рассудил узник, казнить его так, как постановил судья, невозможно. Но вот наступает утро среды, и в камеру к осужденному входит палач – совершенно неожиданно! Все-таки судья оказался прав, а в безупречной, казалось бы, логике узника таился какой-то изъян. Но какой именно?

Больше половины столетия бьются над этой задачей толпы математиков и логиков, но так пока и не смогли прийти к однозначному решению. Парадокс, похоже, коренится в том, что судья в своих словах уверен твердо (казнь состоится в день, заранее осужденному неизвестный), а у узника такой глубокой уверенности нет. Даже если приговоренный доживет до утра субботы, может ли он быть абсолютно уверен, что палач не придет?

Случается, что парадокс возникает из-за того, как мы употребляем слова, особенно из-за нечетких формулировок вопросов и утверждений. Парадокс Берри назван в честь младшего библиотекаря Бодлианской библиотеки Оксфордского университета Джорджа Берри, который в 1906 году привлек внимание к выражениям вроде “Наименьшее число, которое невозможно описать менее чем десятью словами”. На первый взгляд, в этой фразе нет ничего особенно странного. Ведь существует же конечное множество предложений из менее чем десяти слов, а среди них есть те, что описывают конкретные числа, – значит, совершенно точно существует конечное множество чисел, которые можно описать менее чем десятью словами, а среди тех, что подобным образом описать нельзя, есть некое наименьшее число N. Проблема лишь в том, что сама фраза Берри, описывающая это число, содержит менее десяти слов! Получается, число N можно описать девятью словами, что противоречит его определению как наименьшего числа, которое нельзя описать менее чем десятью словами. Попробуйте выбрать в качестве N другое число – результат будет аналогичный. Парадокс Берри демонстрирует нам, что понятие “описываемости” само по себе неоднозначно и использовать его без каких-либо уточнений опасно.

А вот парадокс иного рода, связанный с понятием идентичности. Обычно мы воспринимаем идентичность как нечто само собой разумеющееся: например, очевидно, что человек, которого я час назад знал как Агниджо, и сейчас тот же самый человек. Но существуют парадоксы, способные поставить наше интуитивное восприятие идентичности под сомнение. Один из них представляет собой мысленный эксперимент, известный как “корабль Тесея”. Легендарный царь Тесей, хорошо знакомый нам по мифу о Минотавре, выиграл много морских сражений, и афиняне почтили его память, сохранив его корабль в порту. Со временем, однако, доски и другие части деревянного судна прогнивали – и их приходилось одну за другой заменять. Вопрос: в какой момент (если такой момент есть) этот корабль перестает быть кораблем Тесея и становится его копией или другим, самостоятельным объектом? После замены одной доски? Половины досок? Какого-то иного их количества? Зависит ли ответ от скорости замены частей? Если из старых досок построить еще один корабль, который из них будет настоящим кораблем Тесея и будет ли такой вообще? Современный вариант той же загадки называют “принципом Sugababes”. В первоначальном составе английской поп-группы Sugababes, образованной в 1998 году, были Шивон Донахи, Мутиа Буэна и Киша Бьюкенен. Впоследствии девушки одна за другой покидали группу, а на их место приходили другие, пока в 2009 году состав не сменился полностью: вместо первых участниц теперь там были Хайди Рейндж, Амель Берраба и Джейд Юэн. В 2011 году Донахи, Буэна и Бьюкенен объединились в новую группу. Какая из двух групп имеет большее право называться “настоящими” Sugababes?

В случае с неодушевленными объектами такого рода загадки могут показаться несущественными, хотя для археологов и реставраторов это вопрос не праздный: среди них не умолкают споры о том, вправе ли – и в какой степени – восстановленные и отреставрированные древние здания и артефакты считаться оригиналами, или это уже некие продолжения оригинальных построек и изделий. Но так или иначе, мысленные эксперименты, подобные задаче о корабле Тесея, обретают новое измерение, когда речь заходит о нас самих, в особенности о личности конкретного человека. Не за горами то время, когда станет возможно заменить почти любую часть тела органическим трансплантатом (донорским либо выращенным в лаборатории) или протезом. Если у человека теми или иными способами постепенно заменили значительную часть органов, остался ли он тем же самым человеком? Как правило, ответ на этот вопрос дают утвердительный – если только замена органов не касается значительного объема мозга, поскольку обычно считается, что именно мозг определяет нашу личность.

Никто не будет спорить, что, если человек в результате несчастного случая потерял руку и ему вместо нее установили протез, он остается во всех отношениях тем же самым человеком. Правда и то, что атомы, молекулы и клетки, из которых мы состоим, постоянно обновляются. За то время, что вы читаете это предложение, в вашем организме отмерли и заменились около пятидесяти миллионов клеток. Если это равноценная замена, происходящая постепенно, либо если нам пересаживают какой-то орган или устанавливают протез, мы не беспокоимся, что нашей идентичности что-то угрожает. Люди стареют, но от этого не становятся кем-то другим – это тоже понятно. Но что, если замена произошла враз, одномоментно? Что, если все частицы, из которых состоит наше тело, – вплоть до атомов – в один миг заменились на идентичные копии?

Телепортация, когда частицы (или, точнее говоря, свойства частиц) исчезают в одном месте и тут же появляются в другом, на некотором расстоянии, уже возможна с фотонами. Что касается такой “квантовой телепортации” более крупных объектов, это, скорее всего, очень дальняя перспектива. Но давайте предположим, что телепортация человека становится возможной. Вы входите в телепортационную камеру, скажем, в Лондоне. Система в мельчайших деталях сканирует расположение и состояние всех атомов вашего тела и на основе этой информации уже через секунду восстанавливает его из нового набора идентичных атомов в Сиднее. Воссоздание происходит настолько быстро и точно, что вы успеваете ощутить лишь легкую дезориентацию в пространстве; весь процесс – расщепление вашего старого тела на атомы, их утилизация в окружающую среду, сборка вашего нового тела из идентичных атомов в идентичных состояниях долей секунды позже на другом конце планеты – происходит совершенно незаметно для вас. Вам же просто кажется, что в мгновение ока вы перенеслись на 10 000 миль и теперь можете (без всякой, заметьте, усталости и нарушения биоритмов из-за длительного перелета и смены часовых поясов) приступать к освоению нового для вас континента. Все время с момента расщепления вашего тела в Лондоне до его восстановления в Сиднее вы даже обдумывали одну и ту же мысль. Но вот прошло две недели, пора собираться домой. Еще один демонтаж на атомы – и через микросекунду точная копия вашего австралийского тела уже в Англии. Вы выходите из телепортационной камеры отдохнувшим, с новыми силами и бронзовым загаром, и собираетесь отправляться домой, как тут вам на мобильный звонит оператор австралийского терминала. Оказывается, из-за технической неувязки в Сиднее ваше прежнее тело не расщепилось, устроило скандал, обвиняя персонал в некомпетентности и крича, что телепортация не состоялась, и требует немедленной повторной телепортации или возврата денег. Выходит, теперь “вас” двое – не просто похожих, а абсолютно идентичных снаружи и внутри, вплоть до мыслей и воспоминаний в голове в момент телепортации. Который (или которая) из двух – настоящий “вы”? И как вы можете находиться в двух местах одновременно? Что происходит с вашим сознанием в подобной ситуации? И наконец, что ощущает человек, чье сознание скопировано таким образом?

Телепортация человека – процесс невообразимо сложный, и нет никакой уверенности в том, что этот технологический барьер когда-нибудь будет преодолен. Но возможность выгрузить наш разум в компьютер и достичь таким образом своего рода интеллектуального бессмертия уже обсуждается. Причем конечной целью такого проекта будет не просто сохранение человеческой памяти, но воссоздание на неорганическом носителе нашего сознания, активного восприятия самих себя и окружающего мира. И тогда вопрос о том, что это означает для человека, какие ощущения он испытывает, будучи воссозданным подобным образом, приобретает центральное значение. Если можно сделать одну копию вашего сознания, значит, можно создать и две, и больше – скажем, резервные, на случай утраты или повреждения основной. В предстоящие десятилетия открывающиеся возможности приведут к возникновению любопытных личностных и этических дилемм. Математика и человеческое сознание окажутся в единой связке. Разработка технологии выгрузки, аппаратного и программного обеспечения потребует не только серьезных достижений в области науки и техники, но и интенсивного, глубокого математического анализа. Результатом (если он будет достигнут) станет новая форма существования человеческого сознания, в которой его можно будет поддерживать бесконечно. Именно в этой точке математика – квинтэссенция объективной всеобщности, лишенная эмоций и пристрастий, – сходится с самой сутью субъективности, ощущением того, каково это – быть.

Время – еще одна великая тайна, порождающая множество парадоксальных ситуаций. Парадокс близнецов представляет собой мысленный эксперимент, в котором один из близнецов (A) отправляется в длительное космическое путешествие на скорости, близкой к скорости света, и по возвращении обнаруживает, что постарел гораздо меньше, чем его брат (Б), остававшийся на Земле. Замедление времени, его растяжение для тел, движущихся с очень высокой скоростью, – доказанный эффект специальной теории относительности Эйнштейна. Загадка же, которую ставит перед нами парадокс близнецов, такова: почему время не замедляется и для близнеца Б? Ведь можно сказать, что он тоже движется на такой же скорости, только в противоположную сторону, – нужно лишь сменить систему отсчета на ту, в которой близнец A находится в состоянии покоя. В действительности, однако, хоть роли братьев A и Б и кажутся абсолютно симметричными, дело обстоит не совсем так. Близнецу A, чтобы достичь высокой скорости, пришлось ускоряться, а оставшийся на Земле близнец Б ускорения не испытывал. Именно выход близнеца A из земной системы отсчета и заставил его стареть медленнее брата-домоседа.

Сверхскоростное перемещение – верный способ попасть в будущее, при условии что мы сумеем разработать технологию, позволяющую развить необходимую супервысокую скорость. Правда, это будет, к сожалению, путешествие в один конец. Способа вернуться обратно в прошлое мы пока не знаем, разве что нечто очень уж экстравагантное (и угрожающе непредсказуемое), вроде прыжка в “кротовую нору” – гипотетический тоннель в пространстве-времени. Впрочем, это не мешает людям фантазировать на тему того, что могло бы произойти, если бы путешествия в прошлое были возможны. Одна из вероятных проблем заключается в том, что, находясь в прошлом, мы можем вызвать в нем такие изменения, что наше собственное будущее существование окажется под угрозой. В фильме “Назад в будущее” Марти Макфлай на автомобиле DeLorean, работающем на плутониевом топливе, попадает в 1955 год, где встречает собственную мать – девочкой-подростком на пике гормонального всплеска. Марти благоразумно уклоняется от ее заигрываний. Оказавшись в прошлом, человек может случайно убить собственного деда, в тот момент еще мальчишку. Но ведь тогда этот человек не сможет родиться и стать путешественником во времени, который попал в прошлое и натворил дел, приведших к безвременной кончине деда. “Парадокс убитого дедушки” – классический аргумент в пользу невозможности путешествий в прошлое. Есть, впрочем, и другая точка зрения. Ее сторонники утверждают, что, отправившись в прошлое, мы расщепляем линию времени, так что все наши последующие поступки в прошлом происходят уже в новой, альтернативной “ветви”, совершенно отдельной, независимой от первоначально

Бывают, правда, случаи, когда избежать таких конфликтов и петель гораздо сложнее. Представьте себе карточку, на которой написаны следующие три фразы:

(1) В этом предложении пять слов.

(2) В этом предложении восемь слов.

(3) Только одно из предложений на этой карточке истинно.

Истинно или ложно предложение (3)? Понятно, что предложение (1) истинно, а (2) ложно. Если (3) тоже истинно, тогда получается, что на карточке два истинных предложения, а значит, (3) ложно. Если же (3) ложно, значит, неправда, что лишь одно из трех предложений истинно. Однако в таком случае единственное истинное предложение – (1), а это означает, что предложение (3) тоже должно быть истинным. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. А может оно не быть ни тем ни другим?

Эта небольшая головоломка напоминает другую, приписываемую древнегреческому провидцу, философу и поэту Эпимениду, жившему в VI веке до нашей эры. Согласно легенде, ему принадлежит фраза “Все критяне [то есть родившиеся на острове Крит] – лжецы”. Поскольку Эпименид и сам был критянином, его утверждение предполагает, что и он лжец. Таким образом, его высказывание кажется на первый взгляд парадоксальным. На деле же это не так, даже если предположить, что каждый критянин всегда либо лжет, либо, наоборот, говорит правду. Ошибка многих вот в чем: они знают, что если Эпименид говорит правду, то все критяне, включая его самого, – лжецы (противоречие!), но считают, что если он лжет, то это значит, что все критяне, в том числе и он, говорят правду. Это заключение неверно: если Эпименид лжет, из этого лишь следует, что среди критян есть как минимум один правдивый человек, но вовсе не обязательно, что все они говорят правду.

И все же утверждение Эпименида легко превратить в настоящий парадокс. Так называемый парадокс лжеца, приписываемый жившему в IV веке до нашей эры Евбулиду из Милета, можно лаконично сформулировать одной фразой: “Данное утверждение ложно”. Из нее следует, что если утверждение истинно, то оно ложно, а если оно ложно, значит, истинно.

За прошедшие столетия появилось немало вариантов парадокса лжеца. Жан Буридан использовал его для доказательства существования Бога. А всего около ста лет назад английский математик Филип Журден предложил версию, в которой на противоположных сторонах одной карточки написаны два утверждения. На одной стороне значится: “Утверждение на обороте карточки истинно”. На другой – нечто противоположное: “Утверждение на обороте карточки ложно”.

Пока никому так и не удалось найти простое или однозначное разрешение парадокса лжеца. Многие из тех, кто с ним сталкивается, либо с порога отвергают его как бессмысленную игру слов, либо говорят, что предложения хоть и корректны грамматически, но лишены реального содержания. И те и другие просто пытаются опровергнуть существование парадокса, но их возражения не выдерживают критики. Первые просто отказываются признавать, что проблема существует. Вторые утверждают, что предложения бессмысленны, на том основании, что они ведут к парадоксу. По формальным признакам фраза “Это утверждение ложно” ничем особенно не отличается от фразы “Это предложение не на французском языке”. Как же может первое не иметь смысла, если второе совершенно осмысленно?

Вроде бы никакой реальной пользы парадоксы не приносят – забавные головоломки, и только. Но среди них есть такой (тоже содержащий внутреннее противоречие), что сыграл поистине историческую роль в развитии одной из фундаментальных областей математики. Нагляднее всего он представлен в виде так называемого парадокса брадобрея. Некий брадобрей заявляет, что бреет всех, кто не бреется сам. В результате перед ним встает дилемма: бреет ли он сам себя? Если да, значит, он не обращается к брадобрею, то есть не бреет сам себя. Если же нет, значит, его бреет брадобрей, то есть он таки бреет сам себя. В более абстрактной форме этот же парадокс сформулировал в 1902 году английский философ и логик Бертран Рассел в письме немецкому философу и логику Готлобу Фреге, причем в крайне неудачный для Фреге момент. Тот как раз собирался отправить издателю рукопись второго тома своего монументального труда Die Grundlagen der Arithmetik (“Основания арифметики”). В своем письме Рассел обратил его внимание на странный математический объект – множество всех множеств, не включающих себя, – после чего задал вопрос: включает ли это множество само себя? Если да, то оно не принадлежит множеству всех множеств, не включающих себя, а значит, оно не включает себя. Если же нет, то оно принадлежит множеству всех множеств, не включающих себя, а стало быть, включает себя. Такой монстр, с ужасом осознал Фреге, никак не вписывался в теорию множеств, разработке которой он посвятил многие годы и которая теперь, похоже, была повержена и дискредитирована, так и не увидев света дня.

Парадокс Рассела, как его стали называть, вскрыл неустранимое противоречие “наивной” теории множеств, разработанной Фреге. Слово “наивный” в этом контексте указывает на ранние формы теории множеств, не основанные на аксиомах и предполагающие существование такого понятия, как “универсальное множество” – содержащее все объекты математической вселенной. Прочитав письмо Рассела, Фреге тут же понял его огромную важность. В ответном послании он написал:

Открытое вами противоречие стало для меня величайшей неожиданностью – и вынужден признаться, что я даже испугался, поскольку оно сотрясло самые основы, на которых я намеревался выстроить [свою] арифметику[36]. ‹…› Все усугубляется тем, что с утратой правила V не только основания моей арифметики, но и единственно возможные основания арифметики, похоже, рассыпаются в прах.

Наличие этого парадокса в основе столь любовно выстроенной Фреге теории значило, что практически любое следовавшее из нее утверждение было одновременно и истинным, и ложным. А как известно, любая логическая система, в которой вскрывается парадокс, становится бесполезной.

Открытие на заре XX столетия парадокса Рассела, таящегося в самом сердце логики и математики, пошатнуло сами основания этих наук. Теперь ни одно доказательство нельзя было признать безусловно достоверным, ни одну теорию невозможно было убедительно обосновать. Нет, конечно, с чисто практической точки зрения в математике мало что изменилось: 2 + 2 по-прежнему равнялось 4, а утверждение, что 2 + 2 = 5, как и раньше, оставалось ложным. Тревогу вызывал тот факт, что теперь не было никакой возможности доказать эти утверждения. Да что там дважды два – вообще ничего в математике больше невозможно было доказать. Уж на что нерушимой твердыней казалась теория множеств, разработанная – в той форме, что существовала в поздние викторианские времена, – такими учеными, как Георг Кантор и Рихард Дедекинд (о которых мы еще поговорим в десятой главе, посвященной бесконечности), Давид Гильберт (с ним мы впервые встретились в первой главе, а потом еще раз в пятой, когда обсуждали машину Тьюринга) и Фреге, – и та трещала по швам. Крушение наивной теории множеств началось с парадокса о трансфинитных порядковых числах, известного как парадокс Бурали-Форти, хотя первым, кто осознал его тревожные последствия для теории около 1896 года, был Кантор. После того как Рассел окончательно добил ее своим парадоксом, математикам стало ясно: придется либо отступить от веры в доказательство, либо найти альтернативу наивной теории. Поскольку первое было совершенно немыслимо, нужно было каким-то образом с нуля выстроить всю теорию множеств заново, причем так, чтобы с самого начала исключить малейшее подозрение даже на возможность парадокса.

Решение заключалось в разработке так называемых формальных систем. В отличие от наивной теории множеств, выросшей из предпосылок, основанных на здравом смысле, и правил, сформулированных на естественном, неформализованном языке, новый подход требовал исходно определить конкретный набор аксиом. Аксиома – это утверждение или положение, имеющее точную формулировку и изначально принимаемое истинным. У каждой системы может быть свой набор аксиом, каждый автор вправе выбрать для создаваемых систем свои. Но после того, как набор аксиом той или иной формальной системы определен, любые утверждения, которые в рамках этой системы могут характеризоваться как истинные или ложные, должны строиться только из этих изначальных положений. Ключ к успеху любой формальной системы – в тщательном отборе аксиом: они не должны оставлять ни малейшей лазейки для коварных непрошеных гостей вроде парадокса лжеца.

Иногда парадоксом называют то, что на самом деле им не является: всего лишь истинное утверждение, в которое трудно поверить, или, наоборот, ложное, которое кажется очевидным. Классический пример: парадокс Банаха – Тарского. Он гласит, что можно взять шар, разрезать его на конечное число частей и составить из них два шара, каждый из которых будет того же объема, что и первый. Кажется безумием, поэтому сразу оговоримся, что речь здесь идет не о реальном шаре, остром ноже и тюбике суперклея. И пусть вас не беспокоит, что какой-нибудь предприимчивый делец сможет разрубить на части золотой слиток, а потом собрать из них два новых такого же размера. Парадокс Банаха – Тарского не сообщает нам ничего нового об окружающем мире, зато очень много – о том, как знакомые понятия “объем”, “пространство” и другие могут принимать совершенно незнакомое обличье в абстрактном мире математики.

Польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский объявили о своем сенсационном выводе в 1924 году. Он был основан на более ранних работах итальянского математика Джузеппе Витали, доказавшего, что возможно разрезать единичный отрезок (то есть отрезок прямой от 0 до 1) на счетное количество частей и поменять их местами так, чтобы получился отрезок длины 2. Парадокс Банаха – Тарского, который также называют парадоксом удвоения шара (хотя на самом деле это вовсе не парадокс, а доказанная теорема), заостряет внимание на том факте, что в бесконечном множестве точек, составляющих математический шар, понятия объема и меры не могут быть определены для всех возможных подмножеств. Суть в том, что величины, которые можно измерить обычными способами, не обязательно сохраняются, когда шар сначала разбивают на подмножества, а потом эти подмножества снова собирают, но по-другому, используя только параллельные переносы (сдвиги) и вращение (повороты). Эти неизмеримые подмножества невероятно сложны, не имеют четких границ и объема в привычном нам смысле и попросту недостижимы в реальном мире, состоящем из вещества и энергии. Да и потом, парадокс Банаха – Тарского не описывает, как именно получить эти подмножества, а лишь доказывает, что они существуют.

Парадоксы бывают самые разные. Какие-то из них – на самом деле просто наши собственные логические ошибки. Другие поднимают интересные вопросы об очевидных, казалось бы, вещах. А есть и такие, что могут угрожать существованию целой области математики, но зато дают возможность перестроить ее на более прочном фундаменте.


Глава 8. Можно ли просчитать шахматы? | Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним | Глава 10. Отсюда туда не добраться