home | login | register | DMCA | contacts | help | donate |      

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


my bookshelf | genres | recommend | rating of books | rating of authors | reviews | new | форум | collections | читалки | авторам | add

реклама - advertisement



Построение матрицы жёсткости всей конструкции

Теперь, когда нам известны матрицы жёсткости элементов мы можем составить матрицу жёсткости всей конструкции. Матрица жёсткости всей конструкции имеет вид, показанные в формуле:


Метод конечных элементов

где ki,j – элементы матрицы жёсткости всей конструкции (которые могут быть как числами, так и квадратными матрицами);

n – количество узлов в конструкции.


Для составления матрицы жёсткости всей конструкции необходимо превратить матрицы жёсткости элементов в расширенные матрицы жёсткости.

Составление расширенной матрицы жёсткости покажем на примере. На рисунке 9 приведена стержневая конструкция, а также нумерация КЭ, глобальная и локальная нумерация узлов.


Метод конечных элементов

Рисунок 9. Разбиение конструкции на конечные элементы. а – нумерация конечных элементов; б – нумерация узлов; в – локальная нумерация узлов.


Данная конструкция имеет 4 узла. Так как конечные элементы стержневые, то каждый узел имеет по 2 степени свободы в каждом узле – перемещение по горизонтали и вертикали, то матрица жёсткости всей конструкции будет иметь размер 8x8.

Допустим нам известна глобальная матрица жёсткости конечного элемента № 1, имеющая вид:


Метод конечных элементов

где ki,j1 – элементы матрицы жёсткости, так же являющиеся квадратными матрицами размером 2x2.


Для элемента № 1 локальный узел 1 соответствует глобальному узлу 1, а локальный узел 2 соответствует глобальному узлу 2. Тогда расширенная матрица конечного элемента № 1 примет вид:


Метод конечных элементов

где ki,j1 – элементы матрицы жёсткости КЭ № 1

Метод конечных элементов
– нулевая матрица размера 2x2.


Рассмотрим конечный элемент № 2. Локальный узел 1 элемента соответствует глобальному узлу 1 конструкции, а локальный узел 2 элемента соответствует глобальному узлу 3 конструкции. Тогда расширенная матрица будет выглядеть следующим образом:


Метод конечных элементов

где ki,j2 – элементы матрицы жёсткости КЭ № 2;


Для конечного элемента № 3 локальный узел 1 соответствует глобальному узлу 2, а локальный узел 2 соответствует глобальному узлу 3. Тогда расширенная матрица жёсткости будет иметь вид:


Метод конечных элементов

где ki,j3 – элементы матрицы жёсткости КЭ № 3.


Для конечного элемента № 4 локальный узел 1 соответствует глобальному узлу 2, а локальный узел 2 соответствует глобальному узлу 4. Тогда расширенная матрица жёсткости будет иметь вид:


Метод конечных элементов

где ki,j4 – элементы матрицы жёсткости КЭ № 4;



Для конечного элемента № 5 локальный узел 1 соответствует глобальному узлу 3, а локальный узел 2 соответствует глобальному узлу 4. Тогда расширенная матрица жёсткости будет иметь вид:


Метод конечных элементов

где ki,j5 – элементы матрицы жёсткости КЭ № 5;


Теперь, зная расширенные матрицы жёсткости каждого элемента, воспользуемся формулой (48) для нахождения матрицы жёсткости всей конструкции:


Метод конечных элементов

где n– количество конечных элементов в конструкции.


Применительно к рассматриваемой задаче матрица жёсткости всей конструкции будет равна:


Метод конечных элементов

Можно заметить, что такой подход довольно долог, но его можно автоматизировать. Вместо того, чтобы самому находить расширенные матрицы КЭ можно составить матрицу соответствия глобальных узлов локальным, которая имеет вид:


Метод конечных элементов

где N – матрица соответствия глобальных узлов локальным;

m – количество конечных элементов;

n – количество узлов;


Матрица составляется по следующему принципу:


Метод конечных элементов

где s – количество узлов конечного элемента.


Для рассматриваемой конструкции матрица соответствия имеет вид:


Метод конечных элементов

Теперь, составим расширенную матрицу жёсткости конечного элемента:


Метод конечных элементов

где N – матрица соответствия глобальных узлов локальным;

m – номер конечного элемента;

i, j – счётчик номеров узлов и конечных тел;

O – квадратная матрица, элементы которой равны нулю, а размер равен количеству степеней свободы одного узла.

kглоб. узлm – глобальная матрица m-ого конечного элемента.


Матрица жёсткости всей конструкции в блочном виде (по узлам):


Метод конечных элементов

Теперь необходимо развернуть вложенный массив в обычный:


Метод конечных элементов

Метод составления матрицы жёсткости для конструкции является универсальным для любых элементов. Главное помнить, что элементы матрицы жёсткости ki,j сами являются квадратными матрицами размером [dxd], где d – количество степеней свободы одного узла.


Осесимметричное объёмное тело | Метод конечных элементов | Приведение нагрузок к узловым