Построение матрицы жёсткости всей конструкции

Теперь, когда нам известны матрицы жёсткости элементов мы можем составить матрицу жёсткости всей конструкции. Матрица жёсткости всей конструкции имеет вид, показанные в формуле:

где k_i,j – элементы матрицы жёсткости всей конструкции (которые могут быть как числами, так и квадратными матрицами);

n – количество узлов в конструкции.

Для составления матрицы жёсткости всей конструкции необходимо превратить матрицы жёсткости элементов в расширенные матрицы жёсткости.

Составление расширенной матрицы жёсткости покажем на примере. На рисунке 9 приведена стержневая конструкция, а также нумерация КЭ, глобальная и локальная нумерация узлов.

Рисунок 9. Разбиение конструкции на конечные элементы. а – нумерация конечных элементов; б – нумерация узлов; в – локальная нумерация узлов.

Данная конструкция имеет 4 узла. Так как конечные элементы стержневые, то каждый узел имеет по 2 степени свободы в каждом узле – перемещение по горизонтали и вертикали, то матрица жёсткости всей конструкции будет иметь размер 8x8.

Допустим нам известна глобальная матрица жёсткости конечного элемента № 1, имеющая вид:

где k_i,j¹ – элементы матрицы жёсткости, так же являющиеся квадратными матрицами размером 2x2.

Для элемента № 1 локальный узел 1 соответствует глобальному узлу 1, а локальный узел 2 соответствует глобальному узлу 2. Тогда расширенная матрица конечного элемента № 1 примет вид:

где k_i,j¹ – элементы матрицы жёсткости КЭ № 1

Рассмотрим конечный элемент № 2. Локальный узел 1 элемента соответствует глобальному узлу 1 конструкции, а локальный узел 2 элемента соответствует глобальному узлу 3 конструкции. Тогда расширенная матрица будет выглядеть следующим образом:

где k_i,j² – элементы матрицы жёсткости КЭ № 2;

Для конечного элемента № 3 локальный узел 1 соответствует глобальному узлу 2, а локальный узел 2 соответствует глобальному узлу 3. Тогда расширенная матрица жёсткости будет иметь вид:

где k_i,j³ – элементы матрицы жёсткости КЭ № 3.

Для конечного элемента № 4 локальный узел 1 соответствует глобальному узлу 2, а локальный узел 2 соответствует глобальному узлу 4. Тогда расширенная матрица жёсткости будет иметь вид:

где k_i,j⁴ – элементы матрицы жёсткости КЭ № 4;

Для конечного элемента № 5 локальный узел 1 соответствует глобальному узлу 3, а локальный узел 2 соответствует глобальному узлу 4. Тогда расширенная матрица жёсткости будет иметь вид:

где k_i,j⁵ – элементы матрицы жёсткости КЭ № 5;

Теперь, зная расширенные матрицы жёсткости каждого элемента, воспользуемся формулой (48) для нахождения матрицы жёсткости всей конструкции:

где n– количество конечных элементов в конструкции.

Применительно к рассматриваемой задаче матрица жёсткости всей конструкции будет равна:

Можно заметить, что такой подход довольно долог, но его можно автоматизировать. Вместо того, чтобы самому находить расширенные матрицы КЭ можно составить матрицу соответствия глобальных узлов локальным, которая имеет вид:

где N – матрица соответствия глобальных узлов локальным;

m – количество конечных элементов;

n – количество узлов;

Матрица составляется по следующему принципу:

где s – количество узлов конечного элемента.

Для рассматриваемой конструкции матрица соответствия имеет вид:

Теперь, составим расширенную матрицу жёсткости конечного элемента:

где N – матрица соответствия глобальных узлов локальным;

m – номер конечного элемента;

i, j – счётчик номеров узлов и конечных тел;

O – квадратная матрица, элементы которой равны нулю, а размер равен количеству степеней свободы одного узла.

kглоб. узл_m – глобальная матрица m-ого конечного элемента.

Матрица жёсткости всей конструкции в блочном виде (по узлам):

Теперь необходимо развернуть вложенный массив в обычный:

Метод составления матрицы жёсткости для конструкции является универсальным для любых элементов. Главное помнить, что элементы матрицы жёсткости k_i,j сами являются квадратными матрицами размером [dxd], где d – количество степеней свободы одного узла.