Осесимметричное объёмное тело
Вид конечного элемента, а также его локальная нумерация узлов представлены на рисунке 8.
Рисунок 8. Вид конечного элемента
Для нахождения матрицы жёсткости необходимо определить матрицу деформации по формуле:
B(r,z) = (B1(r,z)|B2(r,z)|B3(r,z))
где B1, B2, B3вычисляются по формуле:
где – площадь треугольника;
ai, bi, ci – вычисляются по формулам:
a1 = r2•z3 – r3•z2
a2 = r3•z1 – r1•z3
a3 = r1•z2 – r2•z1
b1 = z2 – z3
b2 = z3 – z1
b3 = z1 – z2
c1 = r3 – r2
c2 = r1 – r3
c3 = r2 – r1
Дальше необходимо получить матрицу упругости по формуле:
где E – модуль упругости;
µ – коэффициент Пуассона.
Для получения матрицы жёсткости необходимо воспользоваться формулой:
K = 2T•D• B(r,z)•r drdz
При достаточно мелком разбиении конструкции оказывается достаточно находить напряжение в центре тяжести КЭ. Тогда формула упрощается:
K = 2mid, zmid)T•D• B(rmid, zmid)• rmid
где rmid, zmid – средние координаты элемента, вычисляемые по формулам:
rmid = (r1 + r2 + r3)/3
zmid = (z1 + z2 + z3)/3
Матрица формы КЭ приведена в формуле:
где Hi = (ai +bi•r + ci