Стержневой элемент
На рисунке 2 показан стержневой конечный элемент.
Рисунок 2. Стержневой конечный элемент
На рисунке 2 xy – локальная система координат, а XY – глобальная.
Стержневой конечный элемент имеет два узла и одну степень свободы. Матрица жёсткости в локальной системе координат вычисляется по формуле:
где E – модуль упругости материла;
F – площадь поперечного сечения стержня;
L– длина конечного элемента.
Матрица формы КЭ:
где a – длина КЭ.
Если рассматривается задача, где конструкция и нагрузки находятся в одной плоскости, то матрица направляющих косинусов определяется по формуле:
где – угол между осями X и x (отсчитывается против часовой стрелки).
Обратите внимание, что при переходе к глобальной системе координат матрица жёсткости стержневого элемента уже будет иметь размер 4x4, так как при рассмотрении плоской конструкции каждый узел имеет по 2 степени свободы (перемещение по горизонтали и вертикали).
В случае, если расчёт проводится не в плоскости, а в пространстве, то матрица направляющих косинусов определяется по формуле:
где LX, LY, LZ – проекции длины конечного элемента на оси глобальной системы координат (см. рисунок 3).
Рисунок 3. Глобальная система координат
Обратите внимание, что при переходе к глобальной системе координат матрица жёсткости стержневого элемента уже будет иметь размер 6x6, так как при рассмотрении плоской конструкции каждый узел имеет по 3 степени свободы (перемещение по осям X, Y и Z).